Question

【題目】動圓與圓相外切且與軸相切，則動圓的圓心的軌跡記，

（1）求軌跡的方程；

（2）定點到軌跡（1）上任意一點的距離的最小值;

（3）經(jīng)過定點的直線，試分析直線與軌跡的公共點個數(shù)，并指明相應(yīng)的直線的斜率是否存在，若存在求的取值或取值范圍情況.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）時，的最小值為；（3）見解析.

【解析】

（1）設(shè)出動圓圓心的坐標(biāo)，利用動圓與軸相切且與圓外切建立方程，化簡得答案；（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式結(jié)合配方法求得定點到軌跡上任意一點的距離的最小值；（3）寫出過斜率存在的直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0求得值，再結(jié)合圖形求得直線與軌跡的公共點個數(shù)，并分析對應(yīng)的斜率情況．

（1）設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，則

，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

（2）如圖，由圖可知，到軌跡上的點與的距離最小，則在拋物線上，

設(shè)，則．

當(dāng)，即時，的最小值為；

（3）設(shè)過與拋物線相切的直線方程為，即，

聯(lián)立，得．

由△，解得：或．

又,

當(dāng)直線的斜率不存在時或斜率存在為0時或直線的斜率，，時，與有1個交點；

當(dāng)直線的斜率為或或，時，與有2個交點；

當(dāng)直線的斜率，，時，與有3個交點．