【題目】如圖，直三棱柱中， 、分別是, 的中點，已知與平面所成的角為， .

（1）證明： ∥平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）連接，交于點，則為的中點，結合是的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得∥，利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）根據(jù)勾股定理可得，以為坐標原點， 、、為軸、軸、軸建立如圖的空間坐標系，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（1）證明：連接，交于點

則為的中點

又是的中點，連接

則∥，

因為平面， 平面

所以∥平面

（2）解：易知

則，得

以為坐標原點， 、、為軸、軸、軸建立如圖的空間坐標系，

則， ， ， ， ，

設是平面的法向量，

則，即，

可取

同理，設是平面的法向量，則，

可取

從而

故

即二面角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f(x)，f(0)=-2，且對，yR，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.

（1）求f(x)的表達式；

（2）已知關于x的不等式f(x)-ax+a+1的解集為A，若A[2,3]，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）已知數(shù)列{}中， ， ，記，且數(shù)列{的前n項和為，

求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間。按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，由統(tǒng)計的數(shù)據(jù)得到的頻率分布直方圖如圖所示，下表是年齡的頻率分布表。

區(qū)間

人數(shù)

a

b

（1）求正整數(shù)a，b，N的值；

（2）現(xiàn)要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1，2，3組中抽取的人數(shù)分別是多少？

（3）在（2）的條件下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求恰有1 人在第3組的概率。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）

A. 至少有一個白球；至少有一個紅球 B. 至少有一個白球；紅、黑球各一個

C. 恰有一個白球；一個白球一個黑球 D. 至少有一個白球；都是白球

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知， 是拋物線上兩點，且與兩點橫坐標之和為3.

(1)求直線的斜率；

(2)若直線，直線與拋物線相切于點，且，求方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．

（Ⅰ）證明：CC1∥平面A1BD；

（Ⅱ）求直線CC1與平面ADD1A1所成角的正弦值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點，圓，點是圓上一動點， 的垂直平分線與交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，過點且斜率不為0的直線與交于兩點，點關于軸的對稱點為，證明直線過定點，并求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利，某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場分析，每輛單車的營運累計收入 (單位：元）與營運天數(shù)滿足.

（1）要使營運累計收入高于800元，求營運天數(shù)的取值范圍；

（2）每輛單車營運多少天時，才能使每天的平均營運收入最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中，.若將它們的斜邊重合，讓三角形以為軸轉動，則下列說法不正確的是（ ）

A. 當平面平面時，，兩點間的距離為

B. 當平面平面時，與平面所成的角為

C. 在三角形轉動過程中，總有

D. 在三角形轉動過程中，三棱錐的體積最大可達到

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