Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明．
（2）求解不等式f（x）≤

3

10

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（2）整理成指數(shù)不等式，運(yùn)用換元法令t=2^x（t＞0），得到二次不等式，解出t，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集．

解答： 解：（1）f（x）為偶函數(shù)．
理由如下：函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（2）不等式f（x）≤

3

10

即為

2x

4x+1

≤

3

10

，即有3•4^x-10•2^x+3≤0，
令t=2^x（t＞0），則3t²-10t+3≤0，
解得

1

3

≤t≤3，
即

1

3

≤2^x≤3，
解得-log₂3≤x≤log₂3．
則解集為[-log₂3，log₂3]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查不等式的解法，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．