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9.已知點A(-1,-1),若點P(a,b)為第一象限內的點,且滿足|AP|=22,則ab的最大值為1.

分析 |AP|=22,可得(a+1)2+(b+1)2=8,令{a=1+22cosθb=1+22sinθ,θ∈(arcsin24,π2-arcsin24).則ab=1-22(sinθ+cosθ)+8sinθcosθ,令sinθ+cosθ=t=2sin(θ+π4),sinθcosθ=t212.再利用二次函數(shù)的單調性即可得出.

解答 解:∵|AP|=22,
a+12+b+12=22,(a,b>0).
化為(a+1)2+(b+1)2=8,
{a=1+22cosθb=1+22sinθ,θ∈(arcsin24,π2-arcsin24).
則ab=1-22(sinθ+cosθ)+8sinθcosθ,
令sinθ+cosθ=t=2sin(θ+π4),sinθcosθ=t212,
∴ab=1-22t+4(t2-1)
=4(t-242-72≤1,當且僅當θ=π4時取等號.
故答案為:1.

點評 本題考查了兩點之間的距離公式、三角函數(shù)代換與三角函數(shù)的單調性值域、二次函數(shù)的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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