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14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=32an1
(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式an;
(2)設(shè)bn=2n-1,cn=an•bn,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,求Tn

分析 (1)利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)bn=2n-1,cn=an•bn=(2n-1)•3n.利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)∵Sn=32an1,∴a1=S1=32(a1-1),解得a1=3.
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=32an1-32an11,
∴an+1=3an
故數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列.
an=3n
(2)bn=2n-1,cn=an•bn=(2n-1)•3n
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)•3n,
∴3Tn=32+3×33+…+(2n-3)•3nz+(2n-1)•3n+1
∴-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)•3n+1=2×3×3n131-3-(2n-1)•3n+1
∴Tn=3+(n-1)•3n+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別是a,b,c若f(C)=-1,\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2},且a+b=2\sqrt{3},求邊長c.

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