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3.設(shè)向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosφ,sinφ),(x∈R,|φ|<π2,ω>0),函數(shù)f(x)=mn的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)(即函數(shù)取得最大值的一個(gè)點(diǎn))為P(π61),在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Q(5π120
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別是a,b,c若f(C)=-1,CACB=32,且a+b=23,求邊長c.

分析 (1)利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得f(x)=sin(ωx+φ),利用周期公式可求ω,將點(diǎn)P(π61)代入y=sin(2x+φ),結(jié)合范圍|φ|<π2,可求φ,即可得解函數(shù)f(x)的解析式.
(2)由題意可得sin(2C+π6)=-1,結(jié)合范圍0<C<π,可得C=2π3.由CACB=32,解得ab=3,利用余弦定理即可解得c的值.

解答 (本小題滿分12分)
解:f(x)=mn=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ),----------(2分)
由題意,得T4=5π12-π6,可得:T=π,所以ω=2.----------------(3分)
將點(diǎn)P(π61),代入y=sin(2x+φ)  得sin(2×π6+φ)=1,
所以φ=2kπ+π6,(k∈Z),
又因?yàn)閨φ|<π2
所以φ=π6,------------(5分)
即函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+π6),(x∈R)--------------(6分)
(2)由f(C)=-1,即sin(2C+π6)=-1,
  又因?yàn)?<C<π,可得:C=2π3.------(8分)
CACB=32,知abcosC=-32,
所以,ab=3.----------------(10分)
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=(232-2×3-2×3×(-12)=9,
所以c=3或-3(舍去),故c=3.--------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和的正弦函數(shù)公式,周期公式,余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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