Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₁（-2

5

，0），P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|=|OF₁|且|PF₁|=4，則橢圓C的方程為（　�。�

• A、

  x2

  25

  +

  y2

  5

  =1
• B、

  x2

  30

  +

  y2

  10

  =1
• C、

  x2

  36

  +

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  45

  +

  y2

  25

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：第一步：由|OP|=|OF₁|及橢圓的對(duì)稱性知，△PF₁F₂為直角三角形；
第二步：由勾股定理，得|PF₂|；
第三步：由橢圓定義，得a；
第四步：由b²=a²-c²，得b²；
第五步：根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，直接寫出橢圓的方程．

解答： 解：設(shè)橢圓的焦距為2c，連接PF₂，如右圖所示．
由F（-2

5

，0），得c=2

5

，
又由|OF₁|=|OF₂|知，PF₁⊥PF₂，
在△PF₁F₂中，由勾股定理，得|PF₂|=

|F1F2|2-|PF1|2|

=

(4 5 )2-42

=8，
由橢圓定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a=4+8=12，從而a=6，得a²=36，
于是b2=a2-c2=36-(2

5

)2=16，
所以橢圓的方程為

x2

36

+

y2

16

=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義及其幾何特征，對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)或圖形的幾何特征，列出關(guān)于a，b，c，的三個(gè)方程，這樣才能確定a²，b²．