Question

已知實數(shù)a使函數(shù)y=log_0.5（x²+2x+a）的值域為R且函數(shù)y=-（5-2a）^x是R上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域，要使函數(shù)y=log_0.5（x²+2x+a）的值域為R，則函數(shù)x²+2x+a的值域為（0，+∞），所以函數(shù)x²+2x+a的最小值a-1≤0，a≤1；而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)y=-（5-2a）^x是R上的減函數(shù)得出5-2a＞1，a＜2，所以最后得到a≤1，所以a的取值范圍就求出了．

解答： 解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域知，要使函數(shù)y=log_0.5（x²+2x+a）的值域為R，則：
函數(shù)x²+2x+a的最小值

4a-4

4

≤0；
∴a≤1；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的定義知，∵函數(shù)y=-（5-2a）^x是R上的減函數(shù)，
所以：5-2a＞1；
∴a＜2；
∴a≤1；
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評：考查對數(shù)函數(shù)的值域，定義域，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的定義．