Question

若函數(shù)f（x）=tan²x-atanx（|x|≤

π

4

 ）的最小值為-6，求實數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由角的范圍可得tanx的范圍，由二次函數(shù)的知識分類討論可得．

解答： 解：∵|x|≤

π

4

，∴m=tanx∈[-1，1]，
∴y=tan²x-atanx=m²-am，m∈[-1，1]，
由二次函數(shù)知識可知：
當

a

2

＜-1即a＜-2時，函數(shù)y=m²-am在m∈[-1，1]上單調(diào)遞增，
故當m=-1時，函數(shù)取最小值，即1+a=-6，解得a=-7符合題意；
當

a

2

＞1即a＞2時，函數(shù)y=m²-am在m∈[-1，1]上單調(diào)遞減，
故當m=1時，函數(shù)取最小值，即1-a=-6，解得a=7符合題意；
當-1≤

a

2

≤1即-2≤a≤2時，函數(shù)y=m²-am在m∈[-1，a]上單調(diào)遞減，
在m∈[a，1]上單調(diào)遞增，故當m=

a

2

時，函數(shù)取最小值，
即

a2

4

-

a2

2

=-6，解得a=±2

6

，均不符合題意
綜上可得a的值為：±7
故答案為：±7

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及正切函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值，涉及分類討論的思想，屬中檔題．