Question

已知拋物線y²=6x的弦AB過點P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標原點），求弦AB的長．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合OA⊥OB，得到x₁x₂+y₁y₂=0從而求得k值，確定直線方程，求弦長．

解答： 解：直線AB的斜率一定存在，設(shè)為k（k≠0）
則AB方程為y-2=k（x-4），
y-2=k（x-4）與y²=6x聯(lián)立消去x
整理得 ky²-6y+12-24k=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁y₂=

12-24k

k

，
∵OA⊥OB
∴

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴y₁y₂+（y₁²y₂²）÷36=0
∵y₁y₂≠0
∴y₁y₂=-36
∴

12-24k

k

=-36，解得k=-1，
∴AB所在直線的方程為  y-2=-（x-4），即x+y-6=0，
所以弦AB的長

1+ 1 k2

|y1-y2|=

2

180

=6

10

．

點評：本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過P的直線方程，利用韋達定理予以解決．