Question

【題目】已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f（x）=x2-4x+3．

求：（1）f（x）的解析式．

（2）已知t＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）= （2）

【解析】

（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）

（2）由題意可得函數(shù)f（x）[t，t+1]上f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1開口向上且關(guān)于x=2對(duì)稱

①當(dāng)t+1≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，g（t）=f（t+1）

②當(dāng)t＜2＜t+1時(shí)即1＜t＜2時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，g（t）=f（2）

③當(dāng)t≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，g（t）=f（t）

（1）∵f（x）是奇函數(shù)

∴f（-x）=-f（x）對(duì)任意的x都成立, f（0）=0

又x>0時(shí)，f（x）=x2-4x+3．

∴x＜0時(shí)，-x＞0

∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-4（-x）+3]=-x2-4x-3

∴f（x）=

（2）∵t＞0

∴當(dāng)x∈[t，t+1]時(shí)，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1開口向上且關(guān)于x=2對(duì)稱

①當(dāng)t+1≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減

∴g（t）=f（t+1）=（t-1）2-1=t2-2t

②當(dāng)t＜2＜t+1時(shí)即1＜t＜2時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)

∴g（t）=f（2）=-1

③當(dāng)t≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增

∴g（t）=f（t）=t2-4t+3

綜上所述，