Question

如圖，BC為圓O的直徑，D為圓周上異于B、C的一點，AB垂直于圓O所在的平面，BE⊥AC于點E，BF⊥AD于點F．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，求平面BEF與平面BCD所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CD⊥BD，AB⊥CD，從而得到CD⊥平面ABD，由此能證明BF⊥平面ACD．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面BEF與平面BCD所成銳角二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵BC是圓O的直徑，∴CD⊥BD，
∵AB⊥圓O所在的平面，∴AB⊥CD，且AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD，
又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，
∴BF⊥平面ACD．（6分）
（Ⅱ）如圖，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=2，∠CBD=45°，
∴B（0，-1，0），E（0，0，1），D（1，0，0），A（0，-1，2），
∵BF⊥AD，∴DF=

BD2

AD

=

6

3

=

1

3

AD，
∴

DF

=

1

3

DA

，∴點F（

2

3

，-

1

3

，

2

3

），
設(shè)平面BEF與平面BCD所成銳角二面角為θ，
則cosθ=

S△BCD

S△BEF

=

1 3

2 3

=

2

2

．
∴平面BEF與平面BCD所成銳角二面角的余弦值為

2

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．