Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求f（x）單調(diào)區(qū)間以及 f（x）最小值．
（2）設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈[0，+∞）），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的最小值．
（2）分類討論，利用導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)，可得f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，
∴x=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)取得極小值，也是函數(shù)的最小值，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$•ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F(xiàn)′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$（x＞0）．
①當a≥0時，恒有F′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當a＜0時，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
綜上，當a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．