Question

已知

a

=（2cosx，sinx），

b

=（sin（x+

π

3

），cosx-

3

sinx），f（x）=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式，化簡函數(shù)，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosx，sinx），

b

=（sin（x+

π

3

），cosx-

3

sinx），
∴f（x）=

a

•

b

=2cosxsin（x+

π

3

）+sinx（cosx-

3

sinx）=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2x+

π

3

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得x∈[

π

12

+kπ，

7

12

+kπ]（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7

12

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、輔助角公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．