Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，CD⊥平面PAD，點(diǎn)O，E分別是AD，PC的中點(diǎn)，已知PA=PD，PO=AD=2BC=2CD=2．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)F在線段PC上，且直線DF與平面POC所成角的正弦值為

2

4

，求線段DF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB⊥DE．
（Ⅱ）分別求出平面PAC的法向量和平面POC的法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-O的余弦值．
（Ⅲ）設(shè)OC、BD交于點(diǎn)G，則DG=

2

2

，且DG⊥平面POC，直線DF與平面POC所成角為∠DFG，由此能求出DF．

解答： （Ⅰ）證明：∵CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O是AD的中點(diǎn)，
∴PO⊥AD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），E（

1

2

，

1

2

，1），P（0，0，2），
∴

AB

=(1，1，0)，

DE

=(

1

2

，-

1

2

，1)，
∴

AB

•

DE

=0，∴AB⊥DE．
（Ⅱ）解：

AC

=(1，2，0)，

PC

=(1，1，-2)，
設(shè)平面PAC的法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • AC =x+2y=0 m • PC =x+y-2z=0

，令x=2，得

m

=(2，-1，

1

2

)，
又

BD

•

PO

=0，

BD

•

OC

=0，
∴平面POC的法向量

BD

=(-1，1，0)，
∴cos＜

m

，

BD

＞=

-2-1

2 • 21 4

=-

42

7

，
∵二面角A-PC-O的平面角是銳角，
∴二面角A-PC-O的余弦值是

42

7

．
（Ⅲ）解：設(shè)OC、BD交于點(diǎn)G，則DG=

2

2

，
且DG⊥平面POC，則直線DF與平面POC所成角為∠DFG，
∵直線DF與平面POC所成角的正弦值為

2

4

，
∴sin∠DFG=

DG

DF

=

2

4

，
解得DF=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．