Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n2+n

2

，n∈N^*．
（1）求a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=2 an+（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)的和T_2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用a₁=S₁，能求出結(jié)果．
（2）n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n2+n

2

-

(n-1)2+(n-1)

2

=n．n=1時(shí)，上式成立，由此求出a_n=n．
（3）b_n=2 an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ+（-1）ⁿn，由此利用公組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)的和T_2n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n2+n

2

，n∈N^*．
∴a₁=S₁=

12+1

2

=1．…（2分）
（2）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n2+n

2

，n∈N^*．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n2+n

2

-

(n-1)2+(n-1)

2

=n．…（7分）
n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=n．…（8分）
（3）b_n=2 an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ+（-1）ⁿn，…（9分）
T_2n=（2+2²+2³+…+2²ⁿ）+[-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]…（10分）
=

2(1-22n)

1-2

+[(-1+2)+(-3+4)+…+(-2n+1+2n)]…（12分）
=2ⁿ⁺¹+n-2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．