14.已知不等式ax2+x+c>0的解集為{x|1<x<3}.
(1)求a,c的值;
(2)若不等式ax2+2x+4c>0的解集為A,不等式3ax+cm<0的解集為B,且A?B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)由一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a、c的值;
(2)由(1)中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c>0,再根據(jù)真子集的定義求出m的取值范圍.

解答 解:(1)∵不等式ax2+x+c>0的解集為{x|1<x<3},
∴1、3是方程ax2+x+c=0的兩根,且a<0,…(1分)
所以$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{1+3=-\frac{1}{a}}\\{1×3=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$;…(3分)
解得a=-$\frac{1}{4}$,c=-$\frac{3}{4}$;…(5分)
(2)由(1)得a=-$\frac{1}{4}$,c=-$\frac{3}{4}$,
所以不等式ax2+2x+4c>0化為-$\frac{1}{4}$x2+2x-3>0,
解得2<x<6,
∴A={x|2<x<6},
又3ax+cm<0,即為x+m>0,
解得x>-m,
∴B={x|x>-m},…(8分)
∵A?B,
∴{x|2<x<6}?{x|x>-m},
∴-m≤2,即m≥-2,
∴m的取值范圍是[2,+∞).…(10分)

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式和對應(yīng)方程的應(yīng)用問題,也考查了真子集的定義與應(yīng)用問題,是中檔題目.

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4.若不等式x2+x+a+1≥0對一切$x∈[{0,\frac{1}{2}}]$都成立,則a的最小值為( 。
A.0B.-1C.$-\frac{5}{2}$D.$-\frac{7}{4}$

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5.已知P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的動點(diǎn),點(diǎn)M是圓(x+5)2+y2=4上的動點(diǎn),點(diǎn)N是圓(x-5)2+y2=1上的動點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值是9.

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2.若函數(shù)y=ksin(kx+φ)(k>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)與函數(shù)y=kx-k2+6的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)=sin(kx-φ)+cos(kx-φ)圖象的一條對稱軸的方程可以為( 。
A.x=-$\frac{π}{24}$B.x=$\frac{37π}{24}$C.x=$\frac{17π}{24}$D.x=-$\frac{13π}{24}$

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9.已知a∈R,函f(x)=x3-ax2+ax+a,g(x)=f(x)+(a-3)x.
(1)求證:曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過定點(diǎn);
(2)若g(1)是g(x)在區(qū)間(0,3]上的極大值,但不是最大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對任意給定的正數(shù)b,總存在a∈(3,+∞),使得g(x)在$(\frac{a}{3},\frac{a+b}{3})$上為單調(diào)函數(shù).

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19.關(guān)于x的不等式x2+ax-2<0在區(qū)間[1,4]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.$(-∞,-\frac{7}{2})$B.(-∞,1)C.$(-\frac{7}{2},+∞)$D.(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2-30n.
(1)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?求出它的通項(xiàng)公式;
(2)求使得Sn最小的序號n的值.

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3.不等式(2-a)x2-2(a-2)+4>0對于一切實(shí)數(shù)都成立,則(  )
A.{a|-2<a≤2}B.{a|-2<a<2}C.{a|a<-2}D.{a|a<-2或a>2}

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4.下列命題的正確的是( 。
A.若直線 l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 α內(nèi),則  l∥α
B.若直線 l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行
C.如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面α平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.
D.若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)

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