Question

設(shè)函數(shù)f（x）=k（x-

1

x

）-lnx，k∈R．
（Ⅰ）若f（x）與x軸相切于點(diǎn)（1，f（1），求f（1））的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x軸為切線時(shí)斜率k=0，故f′（1）=0，可求出k；
（2）定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

，當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

=

kx2-x+k

x2

，由于拋物線y=kx²-x+k開(kāi)口向上，要使原函數(shù)單調(diào)，只有使kx²-x+k≥0在x＞0恒成立，再求最值解決．

解答： 解：（1）∵x軸為切線，∴斜率k=0，∴f′（1）=0，
f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

，∴f′（1）=2k-1=0，∴k=

1

2

∴f（x）=

1

2

(x-

1

x

)-lnx
（2）定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

=

kx2-x+k

x2

，由于拋物線y=kx²-x+k開(kāi)口向上，要使原函數(shù)單調(diào)，只有使kx²-x+k≥0在x＞0恒成立，
∵kx²-x+k≥0?k≥

x

x2+1

，∴只要使k≥

x

x2+1

的最大值即可，
∵

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x• 1 x

=

1

2

，∴k≥

1

2

，
綜上：k≤0，或k≥

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)即應(yīng)用，其中利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)常用的方法，屬于中檔題．