Question

已知函數(shù)，；

（1）求在處的切線方程；

（2）若有唯一解，求的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得與在上均為增函數(shù)，若存在求出的范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或     （3）不存在實(shí)數(shù) 

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的綜合運(yùn)用試題。

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程。

（2）原方程等價(jià)于，令

  則函數(shù)與在軸右側(cè)有唯一交點(diǎn)。轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點(diǎn)來(lái)處理。

（3）分別分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合結(jié)論，判定都是單調(diào)增函數(shù)時(shí)的參數(shù)的取值范圍

解：（1）；  ……………3分

（2）原方程等價(jià)于，令

  則函數(shù)與在軸右側(cè)有唯一交點(diǎn)。

  當(dāng)或時(shí) ，當(dāng)時(shí)

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

時(shí)有極小值，時(shí)有極大值

當(dāng)有唯一解時(shí)或      ……………8分

（3），

當(dāng)時(shí) ，當(dāng)時(shí)

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

與在上單調(diào)遞增， 使得與在上均為增函數(shù)則滿足，不等式組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)