Question

對于四面體，以下說法中，正確的序號為 （多選、少選、選錯均不得分）.

①若，，為中點，則平面⊥平面；

②若，，則；

③若所有棱長都相等，則該四面體的外接球與內切球的半徑之比為2：1；

④若以為端點的三條棱所在直線兩兩垂直，則在平面內的射影為的垂心；

⑤分別作兩組相對棱中點的連線，則所得的兩條直線異面。

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：對于①，如下圖所示四面體，

若，，為中點，則，，所以平面，則平面平面，故①正確；

對于②，如下圖所示，過作垂直平面交于點，連接，，并延長分別與，，交于點，，，

若，則易得，若，則易得，從而可得為底面的垂心，故，又，所以平面，故，所以②正確；

對于③，如下如圖③所示，取中點，連接，設為重心，連接，設上一點為所有棱長都相等四面體的外接球與內切球的球心，外接球與內切球半徑分別為，，那么

依題設棱長為，則，，，在中，，， ，又，即，∴ ，，故該四面體的外接球與內切球的半徑之比為3：1，即③錯誤；

對于④，由②證明過程易知④正確；

對于⑤，如下圖⑤所示，，，，分別為，，，中點，連接，，

易得，，即，∴ ，，，四點共面，即棱中點連線，共面， 故⑤錯誤；

考點：立體幾何點線面位置關系、平行、垂直關系判斷

考點分析： 考點1：點、線、面之間的位置關系 試題屬性

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