已知橢圓的一個焦點(diǎn)
與拋物線
的焦點(diǎn)重合,且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為
,傾斜角為
的直線
過點(diǎn)
.
(1)求該橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為,問拋物線
上是否存在一點(diǎn)
,使得
與
關(guān)于直線
對稱,若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
(1);(2)拋物線
上存在一點(diǎn)
,使得
與
關(guān)于直線
對稱.
解析試題分析:(1)求橢圓的方程,可利用待定系數(shù)法求出的值即可,首先確定拋物線
的焦點(diǎn)
與準(zhǔn)線方程為
,利用橢圓焦點(diǎn)
與拋物線
的焦點(diǎn)重合,得
,且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為
,得交點(diǎn)為
,建立方程,求出
的值,即可求得橢圓的方程;(2)根據(jù)傾斜角為
的直線
過點(diǎn)
,可得直線
的方程
,由(1)知橢圓的另一個焦點(diǎn)為
,利用
與
關(guān)于直線
對稱,利用對稱,可求得
的坐標(biāo),由此可得結(jié)論.
試題解析:(1)拋物線的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線方程為
,
∴ ① 2分
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為
,
∴ 得上交點(diǎn)為,∴
② 4分
由①代入②得,解得
或
(舍去),
從而
∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為 6分
(2)∵ 傾斜角為的直線
過點(diǎn)
,
∴ 直線的方程為
,即
, 7分
由(1)知橢圓的另一個焦點(diǎn)為,設(shè)
與
關(guān)于直線
對稱,則得
, 9分
解得,即
, 2分
又滿足
,故點(diǎn)
在拋物線上。所以拋物線
上存在一點(diǎn)
,使得
與
關(guān)于直線
對稱。 13分
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;拋物線的簡單性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.
(1)求實(shí)數(shù)b的值;
(2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長為2,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點(diǎn),E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)
=t
,求實(shí)數(shù)t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為原點(diǎn)
,離心率
,其一個焦點(diǎn)在拋物線
的準(zhǔn)線上,若拋物線
與直線
相切.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)在橢圓
上運(yùn)動時,設(shè)動點(diǎn)
的運(yùn)動軌跡為
.若點(diǎn)
滿足:
,其中
是
上的點(diǎn),直線
與
的斜率之積為
,試說明:是否存在兩個定點(diǎn)
,使得
為定值?若存在,求
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線
的焦點(diǎn)
與橢圓
的右焦點(diǎn)重合,
與
在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為
.
(1)若△AOB是邊長為的正三角形,求拋物線
的方程;
(2)若,求橢圓
的離心率
;
(3)點(diǎn)為橢圓
上的任一點(diǎn),若直線
、
分別與
軸交于點(diǎn)
和
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為橢圓
的左右焦點(diǎn),
是坐標(biāo)原點(diǎn),過
作垂直于
軸的直線
交橢圓于
,設(shè)
.
(1)證明: 成等比數(shù)列;
(2)若的坐標(biāo)為
,求橢圓
的方程;
(3)在(2)的橢圓中,過的直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),若
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定點(diǎn)和定直線
,動點(diǎn)與定點(diǎn)
的距離等于點(diǎn)
到定直線
的距離,記動點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程.
(2)若以為圓心的圓與曲線
交于
、
不同兩點(diǎn),且線段
是此圓的直徑時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1:=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.
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