Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈[t，4]）的值域?yàn)閰^(qū)間D，是否存在常熟t，使區(qū)間D的長度為9，？若存在，求出所有滿足這個(gè)條件的t的值；若不存在，請說明理由．（注：區(qū)間[p，q]）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)的值域

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=0時(shí)，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大最小值，即得值域；
（2）根據(jù)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，求出a的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，討論t的取值范圍，求出滿足條件的t的值．

解答： 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值是f（x）_min=f（2）=-1，
最大值是f（x）_max=f（4）=（4-2）²-1=3，
∴f（x）在區(qū)間[1，4]上的值域是[-1，3]；
（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)時(shí)，
∵函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3的圖象是拋物線，開口向上，在對稱軸的左側(cè)是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∴

f(-1)＞0 f(1)＜0

，
即

1+4+a+3＞0 1-4+a+3＜0

，
解得-8＜a＜0；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8，0）；
（3））∵函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3圖象的對稱軸是 x=2，
當(dāng)t≤0時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
令f（t）-f（2）=9，
即（t²-4t+a+3）-（a-1）=9，
∴t²-4t-5=0，
解得t=-1，或t=5（不滿足條件，舍去）；
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；區(qū)間長度為（a+3）-（a-1）=4，不滿足條件；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t²-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[t²-4t+a+3，a+3]；
區(qū)間長度為（a+3）-（t²-4t+a+3）=-t²+4t，
令-t²+4t=9，此方程無解；
綜上，t=-1時(shí)，滿足題目中的條件．

點(diǎn)評：本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)的值域的應(yīng)用問題，是綜合性題目．