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19.如圖,過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(1,2),作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí):
(1)求y1+y2的值;
(2)若直線(xiàn)AB在y軸上的截距b∈[-1,3]時(shí),求△ABP面積S△ABP的最大值.

分析 (1)把點(diǎn)P代入拋物線(xiàn)求得p則拋物線(xiàn)的方程可得,設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA,直線(xiàn)PB的斜率為kPB,則可分別表示kPA和kPB,根據(jù)傾斜角互補(bǔ)可知kPA=-kPB,進(jìn)而求得y1+y2的值;
(2)表示出面積,利用導(dǎo)數(shù)方法求△ABP面積S△ABP的最大值.

解答 解:(1)∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線(xiàn)上,∴22=2p,解得p=2.
設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA,直線(xiàn)PB的斜率為kPB
則kPA=y12x11(x1≠1),kPB=y22x21(x2≠1),
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),
∴kPA=-kPB
由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線(xiàn)上,得
y12=4x1,①y22=4x2,②
∴y1+2=-(y2+2),∴y1+y2=-4.
(2)由①-②得直線(xiàn)AB的斜率為kAB=-1.
因此設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=-x+b,由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,消去y得x2-(2b+4)x+b2=0,
由△≥0,得b≥-1,這時(shí)x1+x2=2b+4,x1x2=b2
|AB|=42b+1,又點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為d=|3b|2,
所以S△ABP=2b+13b2
令f(x)=(x+1)(3-x)2(x∈[-1,3]),則由f′(x)=(3x-1)(x-3)=0,得x=13或x=3,
當(dāng)x∈(-1,13)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(13,3)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)的最大值為25627,故△ABP面積S△ABP的最大值為1669

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)等基本知識(shí),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力.

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