Question

根據條件分別求出f（x）的解析式：
（1）f（x-2）=2x-

x

；
（2）f（x²+1）=x⁴+3x²+4；
（3）f（x）滿足f（x）+2f（

1

x

）=2x．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：方程思想,換元法,函數的性質及應用

分析：（1）利用換元法，設x-2=t，求出x，得出f（t），即得f（x）；
（2）利用換元法，設x²+1=t，求出x²，得出f（t），即得f（x）；
（3）由f（x）+2f（

1

x

）=2x①，得f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

②；從而求出f（x）．

解答： 解：（1）∵f（x-2）=2x-

x

，
設x-2=t，∴x=t+2（t≥-2）；
∴f（t）=2（t+2）-

t+2

，
即f（x）=2（x+2）-

x+2

（x≥-2）；
（2）∵f（x²+1）=x⁴+3x²+4，
設x²+1=t，∴x²=t-1（t≥1）；
∴f（t）=（t-1）²+3（t-1）+4=t²+t+2，
即f（x）=x²+x+2（x≥1）；
（3）∵f（x）滿足f（x）+2f（

1

x

）=2x①，
∴f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

②；
②×2-①得，3f（x）=

4

x

-2x，
∴f（x）=

4

3x

-

2x

3

．

點評：本題考查了求函數解析式的問題，也考查了方程思想與換元法的應用問題，是基礎題．