Question

已知函數(shù)f(x)＝|x²＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

Answer 1

(0,1)∪(9，＋∞)

解析　設(shè)y₁＝f(x)＝|x²＋3x|，y₂＝a|x－1|，

在同一直角坐標(biāo)系中作出y₁＝|x²＋3x|，y₂＝a|x－1|的圖象如圖所示．

由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y₁＝|x²＋3x|與y₂＝a|x－1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)都小于1時(shí)，

有兩組不同解x₁，x₂，

消y得x²＋(3－a)x＋a＝0，

故Δ＝a²－10a＋9>0，

且x₁＋x₂＝a－3<2，x₁x₂＝a<1，

聯(lián)立可得0<a<1.

當(dāng)4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)有兩個(gè)小于1，兩個(gè)大于1時(shí)，

有兩組不同解x₃，x₄.

消去y得x²＋(3－a)x＋a＝0，

故Δ＝a²－10a＋9>0，

且x₃＋x₄＝a－3>2，x₃x₄＝a>1，

聯(lián)立可得a>9，