Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）試求a₈和a₆的值；
（2）對于數(shù)列{a_n}，是否存在自然數(shù)m，使得當n≥m時，a_n＜2；當n＜m時，a_n＞2，證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式直接進行求解即可求a₈和a₆的值；
（2）利用數(shù)學歸納法進行證明即可得到結論．

解答： 解：（1）因為a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
當n=6時，解得a₆=

24

7

，
當n=7時，解得a₈=

16

3

．
（2）類似計算得到，a₆=

24

7

，a₇=4，a₈=

16

3

，a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-

4

3

．
由此猜想：
存在自然數(shù)m=10，使得當n≥10時，a_n＜2；當n＜10時，a_n＞2．
證明：①首先驗證，當n=1，2，3，…，9時，a_n＞2．
由已知條件a_n+1=

3an+4

7-an

，解得 a_n=

7an+1-4

an+1+3

，
然后由a₇=4出發(fā)，計算這個數(shù)列的第6項到第1項：
a₆=

24

7

，a₅=

28

9

，a₄=

32

11

，a₃=

36

13

，a₂=

40

15

=

8

3

，a₁=

44

17

，
顯然，當n＜10時，a_n＞2，
②再用數(shù)學歸納法證明：n≥10時，a_n＜2．
①當n=10時，a₁₀=-8＜2，猜想成立．
②假設當n=k （k≥10）時，猜想成立，即a_k＜2，
那么當n=k+1時，有a_k+1-2=

3ak+4

7-ak

-2=

5(ak-2)

7-ak

，
由a_k＜2，則a_k-2＜0，7-a_k＞0，
所以，a_k+1-2＜0，即a_k+1＜2成立． 
根據(jù)①、②，當n≥10時，a_n＜2．
因此，存在自然數(shù)m=10，使得當n≥10時，a_n＜2；當n＜10時，a_n＞2．

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應用，根據(jù)數(shù)學歸納法是解決本題的關鍵．