已知數(shù)列{an}中,a7=4,an+1=
3an+4
7-an

(1)試求a8和a6的值;
(2)對于數(shù)列{an},是否存在自然數(shù)m,使得當n≥m時,an<2;當n<m時,an>2,證明你的結論.
考點:數(shù)列遞推式
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析:(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式直接進行求解即可求a8和a6的值;
(2)利用數(shù)學歸納法進行證明即可得到結論.
解答: 解:(1)因為a7=4,an+1=
3an+4
7-an

當n=6時,解得a6=
24
7
,
當n=7時,解得a8=
16
3

(2)類似計算得到,a6=
24
7
,a7=4,a8=
16
3
,a9=12,a10=-8,a11=-
4
3

由此猜想:
存在自然數(shù)m=10,使得當n≥10時,an<2;當n<10時,an>2.
證明:①首先驗證,當n=1,2,3,…,9時,an>2.
由已知條件an+1=
3an+4
7-an
,解得 an=
7an+1-4
an+1+3
,
然后由a7=4出發(fā),計算這個數(shù)列的第6項到第1項:
a6=
24
7
,a5=
28
9
,a4=
32
11
,a3=
36
13
,a2=
40
15
=
8
3
,a1=
44
17
,
顯然,當n<10時,an>2,
②再用數(shù)學歸納法證明:n≥10時,an<2.
①當n=10時,a10=-8<2,猜想成立.
②假設當n=k (k≥10)時,猜想成立,即ak<2,
那么當n=k+1時,有ak+1-2=
3ak+4
7-ak
-2=
5(ak-2)
7-ak
,
由ak<2,則ak-2<0,7-ak>0,
所以,ak+1-2<0,即ak+1<2成立. 
根據(jù)①、②,當n≥10時,an<2.
因此,存在自然數(shù)m=10,使得當n≥10時,an<2;當n<10時,an>2.
點評:本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應用,根據(jù)數(shù)學歸納法是解決本題的關鍵.
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21
1a
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