Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程是

x=1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．
（1）若圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-15=0，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（2）若矩陣M=

2 1 1 a

的一個(gè)特征值是3，求直線l在M對(duì)應(yīng)的變換作用下的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：二階矩陣與平面向量的乘法,參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：矩陣和變換,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先求出直線l、圓的普通方程，然后求出圓心C到直線l的距離是多少，最后求出直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)是多少即可；
（2）首先求出矩陣M，然后設(shè)出點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)變換前后寫(xiě)出關(guān)系式，整理即可得到直線l′的方程．

解答： 解：（1）直線l的普通方程是x+y=3
由ρ²-2ρcosθ-15=0，可得x²+y²-2x-15=0
即圓C的直角坐標(biāo)方程是（x-1）²+y²=16
∴圓心C到直線l的距離是d=

2

2

=

2

∴直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)是2

42-2

=2

14

（2）若矩陣M=

2 1 1 a

的特征多項(xiàng)式是f（λ）=

.

λ-2 -1 -1 λ-a

.

，
由題意，f（3）=0，解得a=2，
所以矩陣矩陣M=

2 1 1 2

；
設(shè)直線上l任意一點(diǎn)P（x，y），在M對(duì)應(yīng)的變換作用下的點(diǎn)P′（x′，y′）
則M=

2 1 1 2

x y

=

x′ y′

，即

x′=2x+y y′=x+2y

解得

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y=- 1 3 x′+ 2 3 y′

代入直線l的方程是x+y=3
可得x′+y′=9
所以直線l在M對(duì)應(yīng)的變換作用下的直線方程是x+y=9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩陣的特征向量和特征值的應(yīng)用，考查了參數(shù)方程化成普通方程的方法的運(yùn)用，本題的運(yùn)算量不大，屬于基礎(chǔ)題．