Question

已知函數f（x）=-2x²+4x+3．
（1）用單調性定義證明f（x）在[1，﹢∞）上是減函數；
（2）求函數f（x）在x∈[0，4]時的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）用定義法證明單調性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結論．
（2）由單調性及二次函數的特征求最值．

解答： 解：（1）證明：任取x₁，x₂∈[1，﹢∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁²+4x₁+3）-（-2x₂²+4x₂+3）
=（x₂-x₁）（2x₂+2x₁-4）
∵x₁，x₂∈[1，﹢∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，2x₂+2x₁-4＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）在[1，﹢∞）上是減函數．
（2）∵函數f（x）=-2x²+4x+3是二次函數，且對稱軸為x=1，
∴f（x）_max=f（1）=5，f（x）_min=f（4）=-13．

點評：本題考查了函數單調性的證明及函數的最值的求法，單調性的證明一般有兩種方法，定義法，導數法．屬于基礎題．