Question

16．如圖，有兩條相交成60°角的直線xx′，yy′，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在Ox，Oy上，起初甲離O點(diǎn)3km，乙離O點(diǎn)1km，后來(lái)兩人同時(shí)用每小時(shí)4km的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，問(wèn)：
（1）用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；?
（2）什么時(shí)候兩人的距離最短？

Answer 1

分析 （1）設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是P、Q，分情況討論：當(dāng)0＜t≤$\frac{3}{4}$或t＞$\frac{3}{4}$時(shí)，由余弦定理即可分別求PQ的值；
（2）由（1）可得PQ²=48（t-$\frac{1}{4}$）²+4，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得t=$\frac{1}{4}$時(shí)兩人的距離最短，最短距離為2km．

解答 解：（1）設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是P、Q，
則AP=4t，BQ=4t，
（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤$\frac{3}{4}$時(shí)，
PQ=$\sqrt{（3-4t）^{2}+（1+4t）^{2}-2（3-4t）（1+4t）cos60°}$=$\sqrt{48{t}^{2}-24t+7}$．
（Ⅱ）當(dāng)t＞$\frac{3}{4}$時(shí)，
PQ=$\sqrt{（4t-3）^{2}+（1+4t）^{2}-2（4t-3）（1+4t）cos120°}$=$\sqrt{48{t}^{2}-24t+7}$，
綜上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ═$\sqrt{48{t}^{2}-24t+7}$．
（2）∵PQ²=48（t-$\frac{1}{4}$）²+4，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，（PQ）_min=2，
即在第15分鐘末，PQ最短，最短距離為2 km．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，正確分析實(shí)際問(wèn)題中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．