Question

函數(shù)f（x）=

-(x- 1 2 )2+ 1 12 ，- 1 2 - 3 6 ≤x≤ 1 2 x3 x+1 ，                         1 2 ＜x≤2

和函數(shù)g（x）=asin

π

6

x-a+1 （a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)給出的函數(shù)f（x）的解析式求出其值域，然后求出函數(shù)g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明函數(shù)g（x）的最值中至少一個在范圍內(nèi)，最后列式求解a的范圍．

解答： 解：當

1

2

＜x≤1，f（x）=

x3

x+1

，f′（x）=

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2x3+3x2

(x+1)2

＞0，
所以函數(shù)f（x）在

1

2

＜x≤1上為增函數(shù)，所以f（x）∈（

1

12

，

1

2

]，
當x∈[0，

1

2

]時，函數(shù)f（x）=-（x-

1

2

）²+

1

12

為增函數(shù)，f（x）∈[-

1

6

，

1

12

]，
所以在[0，1]上f（x）∈[-

1

6

，

1

2

]，
函數(shù)g（x）=asin

π

6

x-a+1 （a＞0），
當x∈[0，1]時，sin

π

6

x∈[0，

1

2

]，
所以g（x）∈[1-a，1-

a

2

]，
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明函數(shù)函數(shù)g（x）的最大值與最小值中至少一個在[-

1

6

，

1

2

]內(nèi)，
所以-

1

6

≤1-a≤

1

2

，-

1

6

≤1-

a

2

≤

1

2

，
即

1

2

≤a≤

7

6

或1≤a≤

7

3

即

1

2

≤a≤

7

3

，
所以實數(shù)a的取值范圍是

1

2

≤a≤

7

3

，
故答案為：[

1

2

，

7

3

]

點評：本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，本題把函數(shù)的零點的研究轉(zhuǎn)化為元素與集合之間的關系問題．