Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取CE的中點G，連結FG、BG．由已知條件推導出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．
（2）由等邊三角形性質得AF⊥CD，由線面垂直得DE⊥AF，從而AF⊥平面CDE，由平行線性質得BG⊥平面CDE，由此能證明平面BCE⊥平面CDE

解答： 解（1）證明：取CE的中點G，連FG、BG．
∵F為CD的中點，
∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）∵△ACD為等邊三角形，F為CD的中點，
∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，
∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．