Question

已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l1過定點A(1，0)．

(1)若l1與圓相切，求l1的方程；

(2)若l1與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6

【解析】(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線是x＝1，符合題意．

②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.

由題意知，圓心(3，4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即＝2，解得k＝.

∴所求直線方程是x＝1或3x－4y－3＝0.

(2)(解法1)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx－y－k＝0.

由得N.又直線CM與l1垂直，

由得M.

∴AM·AN＝·

＝＝6為定值．

故AM·AN是定值，且為6.

(解法2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx－y－k＝0.

由得N.再由

得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.

∴x1＋x2＝，得M.

以下同解法1.

(解法3)用幾何法

連結(jié)CA并延長交l2于點B，kAC＝2，kl2＝－，

∴CB⊥l2.如圖所示，△AMC∽△ABN，則，

可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值