【題目】如圖，在直三棱柱中， , 是的中點， 是的中點。

（1）求異面直線與所成的角；

（II）求證

（III）求二面角的正切值.

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）線線角找平移: 取的中點，則，所以是異面直線與所成的角,再根據(jù)余弦定理解得角（2）由三角形相似可得.再根據(jù)側(cè)面與底面垂直, 得,即得；根據(jù)線面垂直判定定理得, (3) 設(shè)是的中點，過點作于，根據(jù)線面垂直判定定理以及性質(zhì)定理可得為二面角平面角,再根據(jù)解三角形得二面角的正切值.

試題解析：解：（I）取的中點，連，則，所以是異面直線與所成的角。設(shè)，則， ，

.

。在中，

.所以異面直線與所成的角為.

（II）由（I）可知， ,又因為三棱柱是直三棱柱，所以

,得；又由與相似，得又由

,所以, .

（III）連接，設(shè)是的中點，過點作于，連,

則.又由平面 平面,所以.

由，得

所以二面角的平面角正切值是.

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