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5.給出下列命題:
①A,B是△ABC的內(nèi)角,且A>B,則sinA>sinB;
②{an}是等比數(shù)列,則{an+an+1}也為等比數(shù)列;
③在數(shù)列{an}中,如果n前項和Sn=n2+n+2,則此數(shù)列是一個公差為2的等差數(shù)列;
④O是△ABC所在平面上一定點,動點P滿足:OP=OA+λ(ABsinC+ACsinB),λ∈(0,+∞),則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心;
則上述命題中正確的有①④(填上所有正確命題的序號)

分析 逐項判斷即可.

解答 解:①根據(jù)三角形知識,由A>B,有a>b,在根據(jù)正弦定理可知sinA>sinB,故①為真;
②如數(shù)列1,-1,1,-1,1…,是一等比數(shù)列,但an+an+1=0,所以{an+an+1}不是等比數(shù)列,故②為假;
③由Sn=n2+n+2可得,a1=S1=4,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n,不能表示首項,故數(shù)列不是等差數(shù)列,即③為假命題;
④由正弦定理有sinC=c2RsinB=2R
所以\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2Rλ(\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}),即\overrightarrow{AP}=2Rλ(\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}),因為向量\frac{\overrightarrow{AB}}{c},\frac{\overrightarrow{AC}}分別為與\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}共線的單位向量,由向量加法的幾何意義可知其和向量與角CAB的角平分線共線,因為向量AP的起點是A,所以直線AP過三角形的內(nèi)心,故④為真.
綜上可知①④為真命題.
故答案為①④.

點評 本題考查的知識點較多,有正弦定理的運用,等差等比數(shù)列的判斷及向量的共線表示.本題難點在第4個命題的判斷,易錯點在第3個命題.

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