已知a3+b3=2，求證：a+b≤2．
考點：不等式的證明
專題：推理和證明
分析：證法一：利用反證法，假設a+b＞2，利用立方和公式與基本不等式，導出矛盾，從而可證原結論成立．
證法二：假設a+b＞2，則a＞2-b，2=a3+b3＞（2-b）3+b3，整理得出（b-1）2＜0，導出矛盾式，從而可肯定原結論成立．
解答： 證法一：假設a+b＞2，則?
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）＞2（a2-ab+b2），而a3+b3=2，故a2-ab+b2＜1，?
∴1+ab＞a2+b2≥2ab，?
從而ab＜1．?
∴a2+b2＜1+ab＜2．?
∴（a+b）2=a2+b2+2ab＜2+2ab＜4．?
∴a+b＜2．?
這與假設矛盾，故a+b≤2．
證法二：假設a+b＞2，則a＞2-b，故?
2=a3+b3＞（2-b）3+b3，?
即2＞8-12b+6b2，即（b-1）2＜0，?
這不可能，從而a+b≤2．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾，考查推理論證能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x∈N|x-3≤0}，B={x∈Z|x2+x-2≤0}，則A∪B=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=b1=1且a2=b1+1，a3=b3+1．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求滿足Sn-
an+1
n
＞100的最小正整數(shù)n．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，△PAD是邊長為
2
的正三角形，E是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點，AB=2DF=1．
（Ⅰ）證明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若FC=2，求點C到平面EBF的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x
1
3
+log
1
3
2-ax
x-2
為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）當x∈（3，4]時，f（x）是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由；
（3）設函數(shù)g(x)=x
1
3
+(
1
2
)x+m，當m為何值時，不等式f（x）＞g（x）在x∈（3，4]有實數(shù)解？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
2
-
y2
b2
=1（b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，其中一條漸近線方程為y=x，點P（x0，y0）在雙曲線，求
PF1
•
PF2
的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x，焦點為P，平面上一定點A（m，0），滿足
OA
=2
PA
，過A作直線l，過原點作l的垂線，垂足為Q，則Q的軌跡方程為（　�。�
A、y=2x（x≠0）
B、x2+y2=1（x≠0）
C、（x-1）2+y2=1（y≠0）
D、x2-2xy+y2=0（x≠0）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若
S5
S10
=
1
3
，則
S5
S20
=（　�。�
A、
1
9
B、
1
10
C、
1
8
D、
1
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=2sin（2x+
π
4
）．
求（1）最小周期．
（2）單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間．
（3）對稱軸方程和對稱中心．
（4）判斷奇偶性．
（5）若x∈[0，
π
2
]，求函數(shù)的值域，并求出當函數(shù)取得最大值時，自變量x的集合．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案