Question

已知函數(shù)f(x)=x

1

3

+log

1

3

2-ax

x-2

為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈（3，4]時，f（x）是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g(x)=x

1

3

+(

1

2

)x+m，當(dāng)m為何值時，不等式f（x）＞g（x）在x∈（3，4]有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）+f（-x）=x

1

3

+log

1

3

2-ax

x-2

+(-x)

1

3

+log

1

3

2+ax

-x-2

=0，從而可得a²=1，注意驗(yàn)證定義域；
（2）化簡f（x）=x

1

3

+log

1

3

2+x

x-2

=x

1

3

-log3(1+

4

x-2

)，由函數(shù)的加減及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性直接可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（3）由題意，f（x）＞g（x）可化為-（2^-x+log3(1+

4

x-2

)）＞m，令F（x）=-（2^-x+log3(1+

4

x-2

)），求函數(shù)的值域，從而得到m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f(x)=x

1

3

+log

1

3

2-ax

x-2

為奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）
=x

1

3

+log

1

3

2-ax

x-2

+(-x)

1

3

+log

1

3

2+ax

-x-2

=0，
即

2-ax

x-2

•

2+ax

-x-2

=1，
即a²=1，
解得，a=-1，a=1；
經(jīng)驗(yàn)證，a=-1．
（2）f（x）=x

1

3

+log

1

3

2+x

x-2

=x

1

3

-log3(1+

4

x-2

)，
易知，y=x

1

3

在（3，4]上是增函數(shù)，y=1+

4

x-2

在（3，4]上是減函數(shù)，
故f（x）在（3，4]上是增函數(shù)，
則f_max（x）=f（4）=

3	4

-1；
（3）由題意，f（x）＞g（x）可化為
x

1

3

-log3(1+

4

x-2

)＞x

1

3

+(

1

2

)x+m，
即-（2^-x+log3(1+

4

x-2

)）＞m，
令F（x）=-（2^-x+log3(1+

4

x-2

)），
易知F（x）在（3，4]上單調(diào)遞增，
則F（3）＜F（x）≤F（4），
即-（

1

8

+log₃5）＜F（x）≤-

17

16

，
故m＜-

17

16

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．