Question

【題目】已知、是定義在實數集上的實值函數，如果存在，使得對任何，都有，那么稱比高興，如果對任何，都存在，使得，那么稱比幸運，對于實數和上述函數，定義.

（1）①，，判斷是否比高興？

②，，判斷是否比幸運？

（2）判斷下列命題是否正確？并說明理由：

①如果比高興，比高興，那么比高興；

②如果比幸運，比幸運，那么比幸運；

（3）證明：對每個函數，均存在函數，使得對任何實數，都比幸運，也比幸運.

Answer 1

【答案】（1）①比高興；②比幸運；（2）①正確；②不正確；（3）證明見解析.

【解析】

(1)直接根據高興和幸運的定義求解判斷即可.
(2)①根據高興的定義,分別取存在分別滿足比高興與比高興,再取的較大值進行證明即可.

②由題可直接舉出帶有周期性的函數反例正余弦函數即可.

(3)由題意知存在對任何,都存在,使得.且對每個函數,均存在函數,使得對任何實數,都比幸運,也比幸運,故對任何,都存在,使得與.故可以考慮構造特殊函數等于加減一個能消除任意實數的影響的函數來證明.

(1)①由,,當時,,解得或.

故存在,使得對任何,都有,即比高興
②由題意,對任何,都存在為有理數.此時,又,此時為無理數,故,此時有,故.

故滿足對任何,都存在,使得.故比幸運.

(2)①由題得, 存在,使得對任何,都有,同時

存在,使得對任何,都有.

取,則對任何,都有,

且對任何,都有.

即存在,對任何,都有,即比高興.

故①正確.

②由題,令,

此時對任何,都存在,

此時,滿足,故比幸運.

又對任何,都存在,

此時,滿足,故比幸運.

但恒成立.故不存在成立.

故不比幸運.故②不正確.

(3)令函數 .

顯然則滿足比幸運.故設

下證明函數滿足對任何實數,都比幸運,也比幸運.

1.對任意與實數 ,取.

則取任意有存在,

使得,

即.即比幸運.

2. 對任意與實數 ,取,顯然

則取任意有存在,

使得

即.即比幸運.

故對每個函數,均存在函數,使得對任何實數,都比幸運,也比幸運.