Question

【題目】南通風(fēng)箏是江蘇傳統(tǒng)手工藝品之一．現(xiàn)用一張長2 m，寬1.5 m的長方形牛皮紙ABCD裁剪風(fēng)箏面，裁剪方法如下：分別在邊AB，AD上取點E，F，將三角形AEF沿直線EF翻折到處，點落在牛皮紙上，沿，裁剪并展開，得到風(fēng)箏面，如圖1．

（1）若點E恰好與點B重合，且點在BD上，如圖2，求風(fēng)箏面的面積；

（2）當(dāng)風(fēng)箏面的面積為時，求點到AB距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）建立直角坐標(biāo)系，求得直線的方程為，利用點F到AB與BD的距離相等列方程可得：，求得，問題得解。

（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，求得直線的方程為，利用點與關(guān)于直線對稱可得：，利用四邊形的面積為可得，整理得：，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值為，即可求得的最大值為，問題得解。

（1）方法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

則，，

直線的方程為．設(shè)（），因為點F到AB與BD的距離相等，

所以，解得或（舍去）． 所以△ABF的面積為，

所以四邊形的面積為．所以風(fēng)箏面的面積為．

方法二：設(shè)，則．在直角△ABD中，，

所以，解得或（舍去）． 所以．

所以△ABF的面積為，所以四邊形的面積為．

所以風(fēng)箏面的面積為．

（2）方法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)，，，

則直線的方程為，因為點A與關(guān)于直線對稱，

所以解得．

因為四邊形的面積為，所以， 所以．

因為，，所以．

設(shè)，．，

令，得或（舍去）．列表如下：

		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

當(dāng)時，取得極小值，即最小值，

所以的最大值為，所以點到AB距離的最大值為。

方法二：設(shè)，，則．因為四邊形的面積為，所以，

即，所以．過點作AB的垂線，垂足為T，

則 ．

因為，，所以．

（下同方法一）