Question

過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-

p

2

)，則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-

p

2

)．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），與拋物線的方程聯(lián)立可得k2x2-(pk2+2p)x+

k2p2

4

=0，可得x₁+x₂=p+

2p

k2

，同理可得x3+x4=p+2pk2．|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-

p

2

)，則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-

p

2

)．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，化為k2x2-(pk2+2p)x+

k2p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

pk2+2p

k2

=p+

2p

k2

，
同理可得x3+x4=p+2pk2．
∴|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=p+

2p

k2

+p+2pk²+2p=2p(k2+

1

k2

)+4p≥2p•2

k2• 1 k2

+4p=8p，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．
∴|AB|+|CD|的最小值為8p．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．