Question

已知函數(shù)f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

，且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）．
（1）求φ；
（2）計(jì)算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)振幅、周期性、過定點(diǎn)確定其解析式；
（2）利用周期性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）y=Asin²（ωx+φ）=

A

2

-

A

2

cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值為2，A＞0．
∴A=2．
又∵其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，ω＞0，
∴

2π

2ω

=2×2，ω=

π

4

，
∴f（x）=1-cos（

π

2

x+2φ）=1-cos（

π

2

x+2φ），
∵y=f（x）過（1，2）點(diǎn)，
∴cos（

π

2

+2φ）=-1，
∴

π

2

+2φ=2kπ+π，k∈Z，
∴2φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

4

，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）根據(jù)（1）知，函數(shù)的周期為4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期為4，2014=4×503+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=4×503+f（1）+f（2）=2012+3=2015．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、三角公式、函數(shù)的周期性等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：一全正，二正弦，三兩切，四余弦．