Question

【題目】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓的長軸為是橢圓上一動點(diǎn)，的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）橢圓的長軸為可以直接求出，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合的最大值為進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出的坐標(biāo)，利用平面向量加法、平面向量共線的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中，根據(jù)的取值范圍，可以求出直線的斜率的取值范圍，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出的表達(dá)式，根據(jù)直線的斜率的取值范圍，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.

（1）因?yàn)闄E圓的長軸為所以，設(shè)的坐標(biāo)為：，所以有

，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，因此

，所以

，

顯然當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，因此橢圓方程為：；

（2）設(shè)直線的方程為：，因?yàn)?/span>，所以，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以有，因此，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以有，

，把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得

，化簡得：，而，所以有

.

即，

顯然有，所以.

令，

因此，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為.