Question

已知平面向量

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），

c

=

1

4

a

+m

b

，

d

=

a

cos²x+

b

sinx，f（x）=

c

•

d

，x∈R，設g（x）=f（x）-m²+msinx，問是否存在實數(shù)m，使得y=g（x）有最大值-8？若存在，求所有滿足條件的m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,存在型,平面向量及應用

分析：運用向量的坐標表示，求出

a

•

b

=0，

a

²=4，

b

²=1，化簡f（x），g（x），配方得，g（x）=-（sinx-m）²+1，由sinx∈[-1，1]，結(jié)合最大值得到m∉[-1，1]，從而推出g（-1）=-8或g（1）=-8，求出m，然后根據(jù)單調(diào)性，檢驗得到m的值．

解答： 解：∵

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴

a

•

b

=-

3

2

+

3

2

=0，|

a

|²=

a

²=4，|

b

|²=

b

²=1，
∴f（x）=

c

•

d

=（

1

4

a

+m

b

）•（

a

cos²x+

b

sinx）=

1

4

cos²x•

a

²+msinx•

b

²+（mcos²x+

1

4

sinx）•

a

•

b

=cos²x+msinx，
∴g（x）=f（x）-m²+msinx=cos²x+2msinx-m²=1-sin²x+2msinx-m²=-（sinx-m）²+1，
假設存在實數(shù)m，使得y=g（x）有最大值-8，
則∵sinx∈[-1，1]，∴m∉[-1，1]，
∴g（-1）=-8或g（1）=-8，即1-（m+1）²=-8或1-（m-1）²=-8，
解得，m=±2，±4．
當m=2或4時，[-1，1]為增區(qū)間，sinx=1時，g（x）最大，m=4成立；
當m=-2，或-4時，[-1，1]為減區(qū)間，sinx=-1時，g（x）最大，m=-4成立；
故存在實數(shù)m，使得y=g（x）有最大值-8，且m=±4．

點評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算和向量的模的運算，同時考查三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．