已知實數(shù)a，b滿足3a+b=1，則
a+
1
2
+
b+
1
2
的最大值是
 
．
考點：基本不等式
專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：由于
a+
1
2
+
b+
1
2
=
3
3
•
3a+
3
2
+
b+
1
2
設(shè)
m
=（
3
3
，1），
n
=（
3a+
3
2
，
b+
1
2
），
運用|
m
•
n
|≤|
m
|•|
n
|，即可得到最大值．
解答： 解：
a+
1
2
+
b+
1
2
=
3
3
•
3a+
3
2
+
b+
1
2

設(shè)
m
=（
3
3
，1），
n
=（
3a+
3
2
，
b+
1
2
），
則|
m
•
n
|≤|
m
|•|
n
|，
則
3
3
•
3a+
3
2
+
b+
1
2
≤
1
3
+1
•
3a+b+2

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)
9a+
9
2
=
b+
1
2
，又3a+b=1即有
a=-
1
4
，b=
7
4
，取得最大值2．
故答案為：2
點評：本題考查運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，即為柯西不等式，求最值的方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別P（億元）Q（億元），它們與各自的投資金x（億元）之間的關(guān)系分別P（x）=
1
8
2x
Q（x）=
1
16
x，今該公司將5億元的資金投向這兩個項目（允許全部投向某一個項目），其中對甲項目投資x（億元），此次投資所獲得的總利潤為y（億元）．
（Ⅰ）寫y關(guān)x的函數(shù)表達(dá)式并注明函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求總利潤的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若一直角三角形的三邊長構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，則該直角三角形的周長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的不等式
x+a
≥x的解集區(qū)間長度為4|a|，則實數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項an=n2-2λn（n屬于正整數(shù)）{an}為遞增數(shù)列是真命題，求λ的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a=7log23.4，b=(
1
7
)log30.3，c=7log43.6，則a，b，c的大小關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
x2
x2+10
（x∈R）的值域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AB=2，∠B=60°，AC=b，若b∈M時△ABC能唯一確定，則集合M=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點P（x，y）滿足約束條件
x ≥ 0
x-2y ≤ a
x+y ≤ 2
且點P（x，y）所形成區(qū)域的面積為12，則實數(shù)a的值為
 
．

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