Question

已知橢圓：的右焦點，點在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線過點，且與橢圓交于，兩點，過原點作直線的垂線，垂足為，如果△的面積為（為實數(shù)），求的值．

Answer 1

（1）；（2）定值為1．

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的定義求，再進(jìn)一步求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線AB與橢圓的方程，求弦長與原點到直線AB的距離，求出三角形的面積，得到關(guān)于的方程求解即可.

試題解析：（1）由題意知：．

根據(jù)橢圓的定義得：，

即．

所以 ．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分

（2）由題意知，△ABC的面積，

整理得 ．

① 當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程是．

此時 ，，所以 ．

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為 ，

設(shè)，．

由 可得 ．

顯然，則

因為 ，，

所以

．

所以 ，

此時，．

綜上所述， 為定值.

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.定值問題.