Question

某班共有24人參加同時開設(shè)的數(shù)學(xué)興趣小組和物理興趣小組，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有6名女生，10名男生；參加物理興趣小組的有3名女生，5名男生，現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩組中抽取3人．
（1）求抽取的3人中恰有一名女生來自數(shù)學(xué)興趣小組的概率；
（2）記X表示抽取3人中男生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量及其分布列,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用古典概型概率公式能求出抽取的3人中恰有一名女生來自數(shù)學(xué)興趣小組的概率．
（2）由題意，知X=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）設(shè)事件A表示“抽取的3人中恰有一名女生來自數(shù)學(xué)興趣小組”，
P（A）=

C 1 10 C 1 6

C 2 16

=

1

2

．
（2）由題意，知X=0，1，2，3，
現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩組中抽取3人，
則從甲組中抽取2人，從乙組抽取1人，
P（X=0）=

C 2 6 • C 1 3

C 2 16 C 1 8

=

3

64

，
P（X=1）=

C 1 6 C 1 10 • C 1 3

C 2 16 C 1 8

+

C 2 6 C 1 5

C 2 16 C 1 8

=

17

64

，
P（X=2）=

C 1 6 C 1 10 • C 1 5

C 2 16 C 1 8

+

C 2 10 • C 1 3

C 2 16 C 1 8

=

29

64

，
P（X=3）=

C 2 10 C 1 5

C 2 16 C 1 8

=

15

64

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	3 64	17 64	29 64	15 64

EX=0×

3

64

+1×

17

64

+2×

29

64

+3×

15

64

=

15

8

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．