Question

已知f（x）=2^x，則f（

1

x

）的定義域是

 

；f（cosx）（x∈R）的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件與分式有意義的條件即可求出函數(shù)的定義域．
（2）令t=cosx （x∈R）則可把求 f（cosx）（x∈R）的值域 轉(zhuǎn)化為求 f（t）（t∈[-1，1]）的值域，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．

解答： 解：要使函數(shù)f（x）=2^x有意義，則x∈R
∵

1

x

∈R，∴x≠0
∴f（

1

x

）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）令t=cosx （x∈R）
∴t∈[-1，1]，
f（t）=2^t （t∈[-1，1]）的值域即為 f（cosx）（x∈R）的值域，
又∵f（t）=2^t 在[-1，1]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，f（t）（t∈[-1，1]）的值域?yàn)椋篬

1

2

，2]．
即f（cosx）（x∈R）的值域?yàn)椋篬

1

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域和值域，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)性題，注意對(duì)函數(shù)概念的靈活運(yùn)用．