Question

【題目】已知曲線是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的右支，它的離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實(shí)軸長，且一條漸近線方程是，線段是過曲線右焦點(diǎn)的一條弦，是弦的中點(diǎn)。

（1）求曲線的方程；

（2）求點(diǎn)到軸距離的最小值；

（3）若作出直線，使點(diǎn)在直線上的射影滿足.當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動時，求的取值范圍.

（參考公式：若為雙曲線右支上的點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，則.（為離心率））

Answer 1

【答案】（1）； （2）點(diǎn)到軸距離的最小值為；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)已知設(shè)雙曲線的右支方程，離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實(shí)軸長，可以得到的關(guān)系，一條漸近線方程是，可以得到的關(guān)系，而，三個等式聯(lián)立，可以求出的值，最后求出雙曲線的右支方程，別忘記寫上的取值范圍。

（2）根據(jù)斜率是否存在進(jìn)行分類討論：當(dāng)存在斜率時，設(shè)出直線方程與雙曲線右支方程聯(lián)立，求出滿足條件的斜率取值范圍，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小，求出點(diǎn)到軸距離的取值范圍。當(dāng)不存在斜率時，求出點(diǎn)到軸距離，綜合兩種情形得出結(jié)論。

（3）由可以得到，這樣可以求出與的關(guān)系，由焦半徑公式可以求出，兩個式子聯(lián)立，可以求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用（2）的結(jié)論，可以求出的取值范圍。

（1）設(shè)，離心率剛好是其對應(yīng)雙曲線的實(shí)軸長，所以有①，一條漸近線方程是所以有②，而③，三個方程聯(lián)立，可求出，所以曲線的方程是：

（2）由（1）知，曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若弦的斜率存在，

則弦的方程為：，代入雙曲線方程得：

.

設(shè)點(diǎn)， ，

由，解得：，點(diǎn)到軸距離：

而當(dāng)弦的斜率不存在時，點(diǎn)到軸距離。

所以點(diǎn)到軸距離的最小值為.

（3）點(diǎn)在直線上的射影滿足，

，到直線的距離……①

由焦半徑公式

……②

將②代入①，得：

，， .