Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使FG⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；
（3）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥DC，PD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，進(jìn)而CD⊥PA，再由EF∥PA，能證明EF⊥CD．
（2）當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OF，OG，PG，GB．推導(dǎo)出BC⊥平面GFO，從而GF⊥BC，推導(dǎo)出GF⊥PB，由此得到GF⊥平面PCB．
（3）三棱錐B-DEF的體積V_B-DEF=V_F-BDE．由此能求出結(jié)果．

解答 （本題滿分14分）
證明：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是的正方形，所以AD⊥DC．
又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD．
又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，（2分）
又PA?平面PAD，所以CD⊥PA． （4分）
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)，所以EF∥PA，（5分）
所以EF⊥CD．  （6分）
解：（2）當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)G⊥平面PCB．
證明：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OF，OG，PG，GB．
因?yàn)镺，F(xiàn)，G分別是BD，PB，AD的中點(diǎn)，所以FO∥PD，GO∥AB．
因?yàn)锳B⊥BC，所以GO⊥BC，所以BC⊥平面GFO．  （8分）
又GF?平面GFO，所以GF⊥BC．
因?yàn)镻D=DC=2，所以$PG=GB=\sqrt{5}$．
又F是PB的中點(diǎn)，所以GF⊥PB，
所以GF⊥平面PCB．  （11分）
（3）∵PD⊥底面ABCD，O，F(xiàn)分別是DB，PB的中點(diǎn)，
∴FO⊥平面BDE，且FO=$\frac{1}{2}$PD=1，
S_△BDE=$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱錐B-DEF的體積${V_{B-DEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BDE}}•（\frac{1}{2}PD）=\frac{1}{3}$．  （14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．