Question

已知橢圓C₁：

x2

a 2 1

+y2=1  (a1＞0)與雙曲線C₂：

x2

a 2 2

-3y2=1  (a2＞0)有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．點(diǎn)P是曲線C₁與C₂的公共點(diǎn)，則∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用橢圓、雙曲線的定義，確定|PF₁|²+|PF₂|²=2（a₁²+a₂²），|PF₁||PF₂|=a₁²-a₂²，結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)題意，可得
|PF₁|+|PF₂|=2a₁…①，且||PF₁|-|PF₂||=2a₂…②
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2（a₁²+a₂²），
∴|PF₁||PF₂|=a₁²-a₂²，
∵橢圓C₁與雙曲線C₂有公共焦點(diǎn)
∴c²=a₁²-1=a₂²+

1

3

，
∴a₁²-a₂²=

4

3

，
∴|PF₁||PF₂|=

4

3

，
∴cos∠F₁PF₂=

2(a12+a22)-4a12+4

2• 4 3

=

1

2

，
∴∠F₁PF₂=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的性質(zhì)，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．