Question

17．如圖，在五面體ACDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°，AB=4，DE=EF=2．
（1）求證：BC∥EF；
（2）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能證明BC∥EF．
（2）在平面ABCD內(nèi)作BH⊥AD于點(diǎn)H，推導(dǎo)出BH是三棱錐B-DEF的高，由此能求出三棱錐B-DEF的體積．

解答 證明：（1）因?yàn)锳D∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，
所以BC∥平面ADEF，…（3分）
又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，
所以BC∥EF． …（6分）
解：（2）在平面ABCD內(nèi)作BH⊥AD于點(diǎn)H，
因?yàn)镈E⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH，
又AD，DE?平面ADEF，AD∩DE=D，
所以BH⊥平面ADEF，
所以BH是三棱錐B-DEF的高．…（9分）
在直角三角形ABH中，∠BAD=60°，AB=4，
所以BH=2$\sqrt{3}$，
因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD，
又由（1）知，BC∥EF，且AD∥BC，
所以AD∥EF，所以DE⊥EF，…（12分）
所以三棱錐B-DEF的體積：
V=$\frac{1}{3}$×S_△DEF×BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線平行的證明，考查三棱錐體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．